函数+分类讨论=中考数学压轴题!及破解方法!
2017-08-12 13:28:41  来源:网络整理 函数 数学 中考 方法 几何图形

函数+分类讨论=中考数学压轴题!及破解方法!

中考数学当中什么问题会让很多学生头痛?我想函数综合题应该就是其中一类吧。函数作为数学当中最重要的一块内容之一,不仅是我们学习的重点,更是中考数学的重中之重,在中考中占了相当高的比重。

以前我经常说到,数学学习要学会“做一题、会一类”的方法,如研究函数型综合问题,我们都可以发现具有这样的特点:一般先给定直角坐标系和几何图形,求(已知)函数的解析式(即在求解前已知函数的类型),然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。

随着新课改不断深入,现在的中考不单单是考查大家掌握多少数学知识,也会考查数学思想方法掌握情况等等。

在中学数学学习阶段,我们会学到很多数学思想,如有化归思想方法、分类讨论思想方法、数形结合思想方法、数学建模等等思想方法,分类讨论就是其中一种非常重要的数学思想。

分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素,无法用统一的方法或结论给出统一的表述时,按可能出现的所有情况来分别讨论,得出各种情况下相应的结论,分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题,化整为零地解决问题。

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因此,近几年函数与分类讨论进行结合,产生函数分类讨论综合型问题,此类问题知识容量大,题意创新,能很好考查学生的分析问题、解决问题的能力,如内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。

函数分类讨论综合型问题是近几年中考数学试题的一大热点和难点,成为中考数学的“香饽饽”。

典型例题分析1:

如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=3/4,且经过点A(2,1),点P是抛物线上的动点,P的横坐标为m(0<m<2),过点P作PB⊥x轴,垂足为B,PB交OA于点C,点O关于直线PB的对称点为D,连接CD,AD,过点A作AE⊥x轴,垂足为E.

(1)求抛物线的解析式;

(2)填空:

①用含m的式子表示点C,D的坐标:

C,D;

②当m=时,△ACD的周长最小;

(3)若△ACD为等腰三角形,求出所有符合条件的点P的坐标.

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考点分析:

二次函数综合题.

题干分析:

(1)根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于a,b的方程组,解方程组可得抛物线的解析式;

(2)①设OA所在的直线解析式为y=kx,将点A(2,1)代入求得OA所在的解析式为y=1/2x,因为PC⊥x轴,所以C得横坐标与P的横坐标相同,为m,令x=m,则y=1/2m,所以得出点C(m,1/2m),又点O、D关于直线PB的对称,所以由中点坐标公式可得点D的横坐标为2m,则点D的坐标为(2m,0);

②因为O与D关于直线PB的对称,所以PB垂直平分OD,则CO=CD,因为,△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO,所以当AD最小时,△ACD的周长最小;根据垂线段最短,可知此时点D与E重合,其横坐标为2,故m=1.

(3)由中垂线得出CD=OC,再将OC、AC、AD用m表示,然后分情况讨论分别得到关于m的方程,解得m,再根据已知条件选取复合体艺的点P坐标即可。

解题反思:

此题看出二次函数的综合运用,待定系数法求函数解析式,中心对称,垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,渗透分类讨论思想.

因函数分类讨论综合型问题能很好考查一个学生的综合问题解决能力,如在不同知识点中,分类讨论的出题方式又不一样,加上函数也是中考数学必考知识点,此类问题自然就成为全国很多地方每年中考必考类型。

在初中数学学习阶段,我们学习到以下三种函数:

1、一次函数(包括正比例函数)和常值函数,它们所对应的图像是直线;

2、反比例函数,它所对应的图像是双曲线;

3、二次函数,它所对应的图像是开口向上或向下的抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。

在解决函数分类讨论综合型问题时,我们可能会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论核心。不过在解决问题过程中,很多学生经常出错,不是忘了分类讨论,就是讨论不全,即使都考虑到所有分类谈论情况,也因一些步骤问题造成分数丢失。

函数+分类讨论=中考数学压轴题!及破解方法!

因此,我们在遇见函数分类讨论综合型问题的时候要有分类讨论意识,要知道如何下手解决问题,如要清楚分类讨论的原则有哪些:

1、分类中的每一部分是相互独立的;

2、一次分类按一个标准;

3、分类讨论应逐级进行,正确的分类讨论必须是周全的,既不重复、也不遗漏。

典型例题分析2:

如图,直线y=﹣3/4x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+3/4x+c经过B、C两点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图,点E是直线BC上方抛物线上的一动点,当△BEC面积最大时,请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值?

(3)在(2)的结论下,过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

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考点分析:

二次函数综合题.

题干分析:

(1)首先根据直线y=﹣3/4x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,求出点B的坐标是(0,3),点C的坐标是(4,0);然后根据抛物线y=ax2+3/4x+c经过B、C两点,求出ac的值是多少,即可求出抛物线的解析式.

(2)首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,EF交x轴于点F,然后设点E的坐标是(x,﹣3/8x2+3/4x+3),则点M的坐标是(x,﹣3/4x+3),求出EM的值是多少;最后根据三角形的面积的求法,求出S△ABC,进而判断出当△BEC面积最大时,点E的坐标和△BEC面积的最大值各是多少即可.

(3)在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.然后分三种情况讨论,根据平行四边形的特征,求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可。

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解题反思:

(1)此题主要考查了二次函数综合题,考查了分析推理能力,考查了分类讨论思想的应用,考查了数形结合思想的应用,考查了从已知函数图象中获取信息,并能利用获取的信息解答相应的问题的能力.

(2)此题还考查了函数解析式的求法,以及二次函数的最值的求法,要熟练掌握.

(3)此题还考查了三角形的面积的求法,要熟练掌握。

函数分类讨论综合型问题有时候会以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件,给出一个或多个变量,要求确定变量与其他量之间的函数等其他关系;或变量在一定条件为定值时,进行相关的计算和综合解答,解答这类题目,一般要根据点的运动和图形的变化过程,对其不同情况进行分类求解。

函数分类讨论综合型问题,不仅是考查函数与分类讨论,更体现了数形结合的思想,能充分考查学生的观察、分析、归纳、猜想的能力以及综合运用所学知识解决问题的能力。

函数分类讨论综合型问题具有知识点多,覆盖面广,条件隐蔽,关系复杂,综合性强,解题方法灵活等鲜明特点,同时题型变化多样。大家若想能解决此类问题,平时除了加强基础知识的学习,还要通过训练掌握题型,理解题型,吃透题型。

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